Xenophanes van Colophon (570-475 v. Chr.)

Xenophanes vluchtte voor de Perzische oorlogen in Ionië (landstreek langs de westkust van Klein-Azië) naar Zuid-Italië en zwierf als dichter en vrijdenker lands de stadstaten van het oude Griekenland. Net als Thales bekritiseerde hij het homerische concept van antropomorfe goden. Xenophanes zei dat de goden van Homerus (dichter van de epische gedichten de Ilias en de Odyssee) alle immorele en verwerpelijke eigenschappen van de imperfecte mens bezaten en nauwelijks het object van verering konden zijn. In 1 van de eerste uitingen van cultuurrelativisme die we kennen, stelde Xenophanes dat de goden van Homerus niet meer waren dan een weerspiegeling van de homerische cultuur.

Hij zei: "De Ethiopiërs maken hun goden zwart en geven hen een platte neus; de Thraciërs zeggen dat ze blauwe ogen en rood haar hebben". Als ossen en paarden handen hadden en konden schilderen, zei Xenophanes, zouden ossen de goden ongetwijfeld als ossen afbeelden en paarden zouden hen als paarden schilderen. 

Hij  bekritiseerde ook de doctrine van de zielsverhuizing van Pythagoras en stak de draak met het idee dat een menselijke ziel in een ander dier terecht kon komen. Xenophanes had een vaag concept van een god, die 'in geen enkel opzicht in vorm of gedachte op de mens lijkt' en die 'alle dingen veroorzaakt door gedachten in zijn geest'.

Thales meende dat water het eerste principe van de natuurlijke fenomenen was, maar Xenophanes dacht aan modder. Xenophanes had namelijk de fossiele resten van zeedieren in de aarde gezien en dacht daarom dat de wereld periodiek opdroogde en zo terugkeerde naar de oorspronkelijke modderige staat, waardoor de levensvormen in de aarde vast kwamen te zitten en geconserveerd werden voordat het proces weer omkeerde.

Xenophanes was ook de eerste denker die anticipeerde op de waarschuwing van Socrates om voorzichtig te zijn met claims van zekere kennis. Filosofische zekerheden bestonden volgens Xenophanes niet, want zelfs als we bij toeval op de waarheid stuiten, is er geen enkele manier om zeker te weten dat de dingen zijn zoals we denken dat ze zijn. Toch maakt dat het filosofische onderzoek niet nutteloos, want door het aan het licht brengen van fouten in ons denken weten we in ieder geval wat niet het geval is, ook al weten we niet zeker wat wel het geval is. Dit idee heeft een moderne tegenhanger in de falsificatiemethode van Karl Popper.

Pythagoras van Samos (571-496 v. Chr.)

Deze grote denker is tegenwoordig nog steeds beroemd vanwege zijn stelling over driehoeken: het kwadraat van de hypotenusa van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de som van de kwadraten van de andere 2 zijden.

Pythagoras deed geheimzinnig over zijn werk, Hij staat niet alleen als denker, maar ook als mysticus bekend. Hij stichtte een gemeenschap waarvan de leden zich aan strenge regels moesten houden. Eén regel was dat je geen bonen mocht eten. Dat zagen ze als kannibalisme, omdat een opengesneden boon lijkt op het begin van menselijk leven. Dit had tragische gevolgen. Toen Pythagoras eens werd achtervolgd door een vijandige menigte, kwam hij bij een veld met bonen. Liever dan deze 'menselijke bonen' te vertrappen stierf hij een voortijdige dood.

Pythagoras predikte ook reïncarnatie en de transmigratie van de ziel en is voor een belangrijk deel verantwoordelijk voor het moderne geloof in numerologie, later gepopulariseerd door Nostradamus.
In feite was Pythagoras bezeten door cijfers. Hij dacht dat de werkelijkheid verklaard kon worden door wiskunde.

Hij ontdekte ook een verwantschap tussen wiskunde en muziek en bedacht een theorie over de harmonie van de wereld. Hij bewees dat de intervallen tussen muzieknoten uitgedrukt kunnen worden in verhoudingen tussen de getallen 1 tot en met 4. Muziek heeft een speciale macht over de ziel en het doordrenkt elk weefsel in het universum.

Pythagoras zei dat de werkelijkheid 10 kanten heeft. 
De pythagoreeërs vereerden bepaalde getallenpatronen, vooral de zogeheten 'tetractys van de decade'. De tetractys is een diagram dat de eerste 4 gehele getallen afbeeldt in een driehoek van 10 punten. Zowel de driehoek als het getal 10 - de decade - werden door de pythagoreeërs vereerd. In hun denken was het getal 10 het perfecte getal omdat het de som is van de eerste 4 gehele getallen.
De gehele getallen zelf stonden voor fundamentele ideeën - het getal 1 stond voor het punt, 2 voor de lijn, 3 voor het vlak en 4 voor het lichaam. Daarnaast dacht men dat er 10 hemellichamen waren - 5 planeten, de zon, de maan, de aarde en een mysterieuze en onzichtbare 'tegenaarde, die allemaal rond een centraal vuur draaiden.

In contradictie tot zijn pythagorese kosmogonie ontdekte hij dat de verhouding tussen de diagonaal van een vierkant en de zijde niet in een geheel getal kan worden uitgedrukt. Het probleem van 'de onmeetbaarheid van de diagonaal' leidde tot de ontdekking van irrationele getallen.